Наиболее эффективным способом выявления основной тенденции развития является аналитическое выравнивание. При этом уровни ряда динамики выражаются в виде функции времени.
Аналитическое выравнивание является предпосылкой для применения других приемов углубленного изучения развития социально – экономических явлений во времени, для изучения колеблемости данных в динамике, их связи с другими явлениями.
В практике социально-экономических исследований применяется аналитическое выравнивание по прямой, параболе второго и третьего порядка, гиперболе, экспоненте. Аналитическое выравнивание состоит в подборе для данного ряда динамики теоретической кривой, выражающей основные черты фактической динамики, т.е. в подборе теоретически плавной кривой, наилучшим образом описывающей эмпирические данные.
Проанализируем данные по страховым выплатам по видам страховой деятельности, используя таблицу 7.
Таблица7.
|
период времени |
личное страхование, млн. руб., y |
t |
t² |
yt |
yt |
|
1992 |
11.16 |
-7 |
49 |
-78,12 |
-4164,90 |
|
1993 |
259.74 |
-5 |
25 |
-1298,7 |
72,26 |
|
1994 |
2877.83 |
-3 |
9 |
-8633,49 |
4309.42 |
|
1995 |
9159.33 |
-1 |
1 |
-9159,33 |
8546,58 |
|
1996 |
10229.11 |
+1 |
1 |
10229,11 |
12783,74 |
|
1997 |
10679.17 |
+3 |
9 |
32037,51 |
17020,90 |
|
1998 |
15955.41 |
+5 |
25 |
79777,05 |
21258,06 |
|
1999 |
36149.54 |
+7 |
49 |
253046,78 |
25495,22 |
|
ИТОГО |
85321,29 |
168 |
355920,81 |
85321,29 |
Произведем аналитическое выравнивание по прямой. Для этого используем выражение:
y0 = a0 + a1t , где t – условное обозначение времени, а а0 и а1 – параметры искомой прямой.
Параметры прямой, удовлетворяющей методу наименьших квадратов, находятся из решения системы уравнений:
na0 + a1åt = åy
a0åt + aåt² = åyt , где y – фактические уровни, n – число членов ряда динамики.
Система упрощается, если t подобрать так, чтобы их сумма равнялась нулю, т.е. начало отсчета времени перенести в середину рассматриваемого периода. Тогда
а0
= å y/n ; a1 = åyt/t²
Поскольку число уровней четное (n = 8), то распределение при åt = 0 будет следующим (3-я колонка в таблице 7).
Из таблицы находим:
n = 8; åy = 85321,29; åyt = 355920,81; åt² = 168.
a0 = 85321,29/8 = 10665,16; a1 = 355920,81/168 = 2118,58
Уравнение прямой будет иметь вид: yt = 10665 + 2118,58t
По уравнению найдем расчетные значения выровненных уровней ряда динамики (последняя колонка в таблице 7).
Графически результаты произведенного аналитического выравнивания ряда динамики страховой деятельности и фактические данные будут выглядеть следующим образом:
Рис.1.
Сумма уровней эмпирического ряда (åy) совпадает с суммой расчетных значений выравненного ряда åyt. А полученное уравнение показывает, что сумма личного страхования растет приблизительно на 4200 млн.руб. в год.
Мы произвели аналитическое выравнивание ряда динамики личного страхования по прямой. Рассмотрим данные по обязательному страхованию и произведем выравнивание по многочлену более высокой степени – по параболе второго порядка:
yt = a0t + a1t + a2t² Для произведения расчетов вновь воспользуемся данными, взятыми из таблицы 4.
Таблица 8.
|
период времени |
обязательное страхование, млн. руб., y |
t |
t² |
t |
yt |
yt² |
|
|
1992 |
1.10 |
-7 |
49 |
2401 |
-7,70 |
53,90 |
-348,55 |
|
1993 |
61.83 |
-5 |
25 |
625 |
-309,15 |
1545,75 |
47,97 |
|
1994 |
1225.57 |
-3 |
9 |
81 |
-3676,71 |
11030,13 |
1268,25 |
|
1995 |
6020.25 |
-1 |
1 |
1 |
-6020,25 |
6020,25 |
3312,29 |
|
1996 |
10974.17 |
+1 |
1 |
1 |
10,974,17 |
10974,17 |
6180,09 |
|
1997 |
12747.47 |
+3 |
9 |
81 |
38242,41 |
114727,23 |
9871,65 |
|
1998 |
13606.40 |
+5 |
25 |
625 |
68032,0 |
340160,0 |
14385,22 |
|
1999 |
19094.38 |
+7 |
49 |
2401 |
133660,66 |
935624,62 |
19725,75 |
|
ИТОГО |
63731,17 |
168 |
6216 |
240895,43 |
1420135,80 |
59442,67 |
ytСистема нормальных уравнений для определения параметров параболы принимает вид:
na0
+ a1åt + a2åt² = åy
a0åt + a1åt² + a2åt³ = åyt
a0åt² + a1åt³ + a2åt = åyt²
Как видно из таблицы åt = 0, также åt³ = 0, следовательно, система упрощается:
na0 + a2åt² = åy
a1åt² = åyt
a0 + a2åyt = åyt²
Отсюда получается, что a1 = åyt/åt² = 1433,90 ;
a0и a2 определяются из решения системы двух уравнений с двумя неизвестными:
10a0 + 168а2 = 63731,17
168а0 + 6216а2 = 1420135,80 ,или
а0 + 16,8а2 = 6373,117
а0 + 37а2 = 8453,19
Отсюда 20,2а2
= 2080,07
а2 = 102,97
а0 = 4643,22
Уравнение параболы: yt = 4643,22 + 1433,90t + 102,97t²
Расчетные данные для каждого года приводятся в последней колонке таблицы 8. Мы видим некоторые расхождения между суммой выровненных и фактических данных. Это происходит из-за округления величин, а также наличия более высоких степеней в системе уравнения для определения параметров параболы, чем, например, прямой. Для более наглядного рассмотрения рассчитанных показателей, воспроизведем графически результаты, полученные аналитически.
Рис. 2
Как мы видим, выровненные данные действительно представляют собой параболу.
Параметры уравнения параболы интерпретируются следующим образом: а0
– величина, выражающая средние условия образования уровней ряда, а1
– скорость развития данных ряда динамики, а2 – ускорение этого развития.