Расчет показателей вариации.

Составной частью сводной обработки данных статистического наблюдения является построение рядов распределения. Цель его – выявление основных свойств и закономерностей исследуемой статистической совокупности. Ряды распределения, построенные по количественному признаку, называются вариационными.

Вариацией признака называется его изменение у единиц совокупности.

Рассмотрим данные о страховом рынке, представленные в таблице 1.

Таблица 1.

I. Состоит в Едином Государственном реестре страховщиков и объединений страховщиков:
1. По организационно-правовой форме:
закрытые акционерные общества	607
открытые акционерные общества	382
товарищества с ограниченной ответственностью	63
общества с ограниченной ответственностью	450
иные формы	31
2. По уставному капиталу:
менее 50 тыс. руб.	122
от 50 тыс. руб. до 100 тыс. руб.	60
от 100 тыс. руб. до 600 тыс. руб.	271
от 600 тыс. руб. до 2086 тыс. руб.	116
ИТОГО	569

Рассчитаем показатели вариации по данным о распределении страховых компаний по организационно-правовой форме такие, как:  размах вариации, среднее линейное отклонение, среднее квадратическое отклонение, дисперсия, коэффициент вариации.

Таблица 2.

страховые компании по организационно- правовой форме	число страховых компаний	x -x	|x – x|	(x – x)²
закрытые акционерные общества	607	300,4	300,4	90240,16
открытые акционерные общества	382	75,4	75,4	5685,16
товарищества с ограниченной ответственностью	63	-243,6	243,6	59340,96
общества с ограниченной ответственностью	450	143,4	143,4	20563,56
иные формы	31	-275,6	275,6	75955,36
ИТОГО	1533	0	1038,4	251785,20

Наиболее простым показателем вариации является размах вариации:     

 R = xmax – xmin  – разность между наибольшим и наименьшим   значением признака. В нашем примере R = 607 – 31 = 576

Для того, чтобы рассчитать следующие показатели, необходимо найти среднюю. В нашем случае это будет средняя арифметическая простая (взвешенная), равная сумме отдельных значений признака, деленной на число этих значений:

x  = x1 + x2 + x3…… + xn / n  = åx/n

x  = 306,6

Среднее линейное отклонение d = å| x – x | / ån  рассчитывается поэтапно. Сначала рассчитывается средняя арифметическая; затем определяются отклонения каждой варианты от средней: x – x ; рассчитывается сумма абсолютных отклонений: å|x – x|; сумма абсолютных отклонений делится на число значений.

В нашем примере d = 1038,4/5 = 207,68

Дисперсия ?² = å(x – x)²/n  также рассчитывается поэтапно: после расчета отклонения вариант от средней они возводятся в квадрат: (x – x)²; затем суммируются квадраты отклонений: å(x – x)²; полученная сумма делится на число вариант: å(x – x)²/n.

В нашем случае ?² = 43157,04

Среднее квадратическое отклонение ? =   ?²

? = 207,74

 Коэффициент вариации V = ?/x * 100%

V = 207,74/306,6 *100% = 67,8%

Среднее линейное и среднее квадратическое отклонения показывают на сколько в среднем колеблется величина признака у единиц совокупности. В нашем случае средняя величина колеблемости страховых компаний по среднему линейному отклонению 207,68 единиц, а по среднему квадратическому отклонению 207,74.  Как мы видим, величина среднего линейного, среднего квадратического отклонений, а также дисперсии достаточно велики.

Наиболее частый показатель относительной колеблемости – коэффициент вариации. Его используют не только для сравнения оценки вариации, но и для характеристики однородной совокупности. Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превышает 33%. Поэтому мы можем сказать, что по организационно-правовой форме  совокупность страховых компаний неоднородна, также колеблемость достаточно высока – 67,8%.

Для сравнения рассчитаем показатели вариации по данным о распределении страховых компаний по размеру уставного капитала.

Таблица 3.

Размер уставного капитала, тыс. руб.	число страховых компаний, f	серединный интервал, x	xf	x – x	|x – x|f	(x – x )²	(x – x)² f
менее 50	122	25	3050	-426,12	51986,64	181578,25	22152546
от 50 до 100	60	50	3000	-401,12	24067,20	160897,25	9653835
от 100 до 600	271	350	94850	-101,12	27403,52	10225,25	2771042,70
от 600 до 2086	116	1343	155788	891,88	103458,08	795449,93	92272191
ИТОГО	569		256688		206915,44		106912324,7

В отличие от предыдущего ряда, где данные индивидуальны, этот ряд распределения является дискретным, так как одни и те же значения повторяются несколько раз. Число одинаковых значений признака в рядах распределения называется частотой или весом и обозначается f.

Рассчитаем вышеперечисленные показатели.

 В данном случае, вместо средней арифметической простой нужно использовать среднюю арифметическую взвешенную, которая вычисляется по формуле:   x = åxf / åf.

В нашем примере x = 256688/569 = 451,12

Среднее линейное отклонение d = å| x – x |f / åf

d = 206915,44/569 = 363,65 (тыс.руб.)

Дисперсия ?² = å(x – x)²f/åf

? = 187895,12

 Среднее квадратическое отклонение ? =  ?²

? = 433,47

 Коэффициент вариации V = ?/x * 100%

V = 433,47/451,12 *100% = 96%

В этом случае средняя величина колеблемости размера уставного капитала страховых компаний по среднему линейному отклонению 363,65 тыс. руб., а по среднему квадратическому отклонению 433,47 тыс. руб.  Величина среднего линейного, среднего квадратического отклонений и дисперсии также  велики.

Коэффициент вариации в данном случае равен 96%,  то есть приблизительно в 1,5 раза больше, чем в предыдущем ряду. Коэффициент очень близок к 100%, тем самым, показывая очень высокую колеблемость. Поскольку величина коэффициента велика, можно сказать о том, что достаточно велик разброс значений признаков вокруг средней (как и видно на практике) и совокупность практически не однородна по своему составу.