Выявление основной тенденции ряда. Аналитическое выравнивание.

Выявление основной тенденции ряда. Аналитическое выравнивание.

admin No Comment
Договор страхования и принципы страхования

Наиболее эффективным способом выявления основной тенденции развития является аналитическое выравнивание. При этом уровни ряда динамики выражаются в виде функции времени.

Аналитическое выравнивание является предпосылкой для применения других приемов углубленного изучения развития социально — экономических явлений во времени, для изучения колеблемости данных в динамике, их связи с другими явлениями.

В практике социально-экономических исследований применяется аналитическое выравнивание по прямой, параболе второго и третьего порядка, гиперболе, экспоненте. Аналитическое выравнивание состоит в подборе для данного ряда динамики теоретической кривой, выражающей основные черты фактической динамики, т.е. в подборе теоретически плавной кривой, наилучшим образом описывающей эмпирические данные.

Проанализируем данные по страховым выплатам  по видам страховой деятельности, используя таблицу 7.

Таблица7.

период

 времени

личное страхование, млн. руб., y

t

yt

Выявление основной тенденции ряда. Аналитическое выравнивание.

           yt

1992

11.16

-7

49

-78,12

-4164,90

1993

259.74

-5

25

-1298,7

72,26

1994

2877.83

-3

9

-8633,49

4309.42

1995

9159.33

-1

1

-9159,33

8546,58

1996

10229.11

+1

1

10229,11

12783,74

1997

10679.17

+3

9

32037,51

17020,90

1998

15955.41

+5

25

79777,05

21258,06

1999

36149.54

+7

49

253046,78

25495,22

ИТОГО

85321,29

168

355920,81

85321,29

Произведем аналитическое выравнивание по прямой. Для этого используем выражение:

Выявление основной тенденции ряда. Аналитическое выравнивание. y0 = a0 + a1t , где t — условное обозначение времени, а а0 и а1  — параметры искомой прямой.

Параметры прямой, удовлетворяющей методу наименьших квадратов, находятся из решения системы уравнений:

na0 + a1åt = åy                                    

a0åt + aåt² = åyt  , где  y — фактические уровни,  n — число членов ряда динамики.     

Система упрощается, если t подобрать так, чтобы их сумма равнялась нулю, т.е. начало отсчета времени перенести в середину рассматриваемого периода. Тогда

а0
= å y/n ; a1 = åyt/t²

Поскольку число уровней четное (n = 8), то распределение при åt = 0 будет следующим (3-я колонка в таблице 7).

Из таблицы находим:

n = 8;  åy = 85321,29;  åyt = 355920,81;  åt² = 168.

a0 = 85321,29/8 = 10665,16;  a1 = 355920,81/168 = 2118,58

Выявление основной тенденции ряда. Аналитическое выравнивание.Уравнение прямой будет иметь вид: yt = 10665 + 2118,58t

По уравнению найдем расчетные значения выровненных уровней ряда динамики (последняя колонка в таблице 7).

Графически результаты произведенного аналитического выравнивания ряда динамики  страховой деятельности и фактические данные будут выглядеть следующим образом:

Рис.1.

Выявление основной тенденции ряда. Аналитическое выравнивание.

Выявление основной тенденции ряда. Аналитическое выравнивание.Сумма уровней эмпирического ряда (åy) совпадает с суммой расчетных значений выравненного ряда åyt. А полученное уравнение показывает, что сумма личного страхования растет приблизительно на 4200 млн.руб. в год.

Мы произвели аналитическое выравнивание ряда динамики личного страхования по прямой. Рассмотрим данные по обязательному страхованию и произведем выравнивание по многочлену более высокой степени — по параболе второго порядка:

Выявление основной тенденции ряда. Аналитическое выравнивание.yt = a0t + a1t + a2t²   Для произведения расчетов  вновь воспользуемся данными, взятыми из таблицы 4.

 Таблица 8.

период

 времени

обязательное

страхование, млн. руб., y

t

t

yt

yt²

Выявление основной тенденции ряда. Аналитическое выравнивание.yt

1992

1.10

-7

49

2401

-7,70

53,90

-348,55

1993

61.83

-5

25

625

-309,15

1545,75

47,97

1994

1225.57

-3

9

81

-3676,71

11030,13

1268,25

1995

6020.25

-1

1

1

-6020,25

6020,25

3312,29

1996

10974.17

+1

1

1

10,974,17

10974,17

6180,09

1997

12747.47

+3

9

81

38242,41

114727,23

9871,65

1998

13606.40

+5

25

625

68032,0

340160,0

14385,22

1999

19094.38

+7

49

2401

133660,66

935624,62

19725,75

ИТОГО

63731,17

168

6216

240895,43

1420135,80

59442,67

Система нормальных уравнений для определения параметров параболы принимает вид:

na0
+ a1åt + a2åt² = åy

a0åt + a1åt² + a2åt³ = åyt

a0åt² + a1åt³ + a2åt  = åyt²

Как видно из таблицы åt = 0, также åt³ = 0, следовательно, система упрощается:

na0 + a2åt² = åy

a1åt² = åyt

a0 + a2åyt  = åyt²

Отсюда получается, что a1 = åyt/åt² = 1433,90 ;

a0и a2 определяются из решения системы двух уравнений с двумя неизвестными:

10a0 + 168а2 = 63731,17

168а0 + 6216а2 = 1420135,80 ,или

а0 + 16,8а2 = 6373,117

а0 + 37а2 = 8453,19

Отсюда 20,2а2
= 2080,07                           

                     а2 = 102,97

                     а0 = 4643,22

Выявление основной тенденции ряда. Аналитическое выравнивание. Выявление основной тенденции ряда. Аналитическое выравнивание.Уравнение параболы: yt   = 4643,22 + 1433,90t + 102,97t²

Расчетные данные для каждого года приводятся в последней колонке таблицы 8. Мы видим некоторые расхождения между суммой выровненных и фактических данных. Это происходит из-за округления величин, а также наличия более высоких степеней в системе уравнения для определения параметров параболы, чем, например, прямой. Для более наглядного рассмотрения рассчитанных показателей,  воспроизведем графически результаты, полученные аналитически.

Рис. 2

Выявление основной тенденции ряда. Аналитическое выравнивание.

Как мы видим, выровненные данные действительно представляют собой параболу.

Параметры уравнения параболы интерпретируются следующим  образом: а0
— величина, выражающая средние условия образования уровней ряда, а1
— скорость развития данных ряда динамики, а2 — ускорение этого развития.

Оставить ответ